int_{0}^{pi / 2} frac{sin^3 x}{sin x + cos x} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमे

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$\frac{\pi - 1}{4}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} dx$। $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$। सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर: $2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} dx$। $2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \sin x \cos x) dx$। $2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{2} \sin 2x) dx$। $2I = [x + \frac{1}{4} \cos 2x]_{0}^{\pi / 2}$। $2I = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi) - (0 + \frac{1}{4} \cos 0)$। $2I = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}) - (0 + \frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$। $I = \frac{\pi - 1}{4}$।

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ का मान क्या है?

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मान लीजिए $f$ एक धनात्मक फलन है। मान लीजिए $I_1 = \int_{1 - k}^k x f\{x(1 - x)\} dx$ और $I_2 = \int_{1 - k}^k f\{x(1 - x)\} dx$,जहाँ $2k - 1 > 0$ है। तो $I_1/I_2$ है

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx =$

$\int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x=$

$\int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$ का मान है

यदि $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ है,तो $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

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